極座標ラプラシアン，発散，回転の簡単な導出，一般の座標系への応用

Gaussの定理

$\int\vec{\nabla}・\vec{A}dV= \int{\vec{A}・\vec{dS}}$

において左辺の積分範囲を微小にすると

$dV\vec{\nabla}・\vec{A} =\int{\vec{A}・\vec{dS}}$

となる．以上までは座標系に依存しない議論であるから，実際に右辺を微小領域について計算してからdVで割れば，座標系に応じた発散が求められる．

$\vec{A}$ を $\nabla{B}$ と置き直せばラプラシアンを計算できる．

変数変換を馬鹿正直にやる方法よりはるかに簡単である．

同様の対応がStokesの定理と回転にも存在する．

$\int(\nabla\times\vec{A})・\vec{dS}=\int\vec{A}・\vec{ds}$

において左辺の積分範囲を微小にすると積分の外にrot(の各成分)をくくりだすことができる．ここまでは座標系に依存しない議論であるから，右辺を実際に計算することで座標系に応じた回転を求められる．

物理周辺の知識まとめ